La paradoja del hotel infinito

Esta paradoja fue propuesta por el matemático alemán David Hilbert para explicar el concepto del infinito.

¿Quiénes colaboraron en esta paradoja?

David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg (Prusia Oriental). Es reconocido mundialmente como uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del siglo XX. Hizo aportes a la infraestructura matemática de la mecánica cuántica y la relatividad general.

Georg Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo. Creó las bases de la teoría de conjuntos moderna, usando muchos conceptos que antes sólo se usaban de forma intuitiva. Por desgracia, sus ideas no eran comprendidas en su época y esta incomprensión tornó forma de burlas desde la comunidad científica. Esta no rectificó hasta los últimos años de vida de Cantor.

Poco después de la muerte de Cantor (en 1920), Hilbert propuso la paradoja del hotel infinito. Debe quedar claro que no es una paradoja en el sentido estricto de la palabra, gracias a que los trabajos de Cantor restan cualquier contradicción.

Existen distintas versiones de esta paradoja.

¿Qué es la paradoja del hotel infinito?

Esta paradoja sirve para explicar que hay infinitos más grandes que otros.

Pongamos un ejemplo. Como recepcionistas del hotel de Hilbert, estamos obligados a albergar a todos los huéspedes que soliciten plaza en este hotel. Pero, en temporada alta, hay más gente hospedada de los que podemos contar. Podríamos decir que hay un número infinito de huéspedes en nuestro hotel infinito.

Un huésped más

En una noche de verano, con infinitos huéspedes en el hotel, llega uno más y solicita poder dormir aquí. Al principio podemos pensar que es imposible albergar a una persona más en un hotel con infinitas plazas y huéspedes. Pero, por supuesto, a todos los recepcionistas de este hotel se nos dan genial las matemáticas, así que después de pensar les decimos a todos los huéspedes que se muevan a la habitación contigua. Así, el huésped de la habitación 1 se mueve a la habitación 2, el de la 2 a la 3, y así con todos. En resumen, pasan de la habitación n a la habitación n+1.

¿Infinitos huéspedes?

Por supuesto, este es el ejemplo más pequeño de problemas que puede haber. Otro caso es que en una noche lleguen infinitos huéspedes. Podemos creer que no se puede albergar un infinito con otro infinito, pero si no logramos albergarlos pondrán malas críticas y podrían cerrar el hotel. Como no queremos eso, ponemos nuestras matemáticas a prueba. Al ser los números infinitos, ¿los pares y los impares son infinitos también? La respuesta es SÍ.

Con esto, podemos decirles a los huéspedes que multipliquen el número de su habitación por dos. Así, el huésped de la habitación 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 4, y así con todos. En resumen, pasan de la habitación n a la habitación 2·n. Habiendo hecho esto, podemos decirles a los recién llegados que ocupen las habitaciones impares. Así, hemos logrado albergar dos infinitos en uno.

¿Infinitos de infinitos?

Por supuesto, esto no es ni de lejos el mayor problema que podemos encontrarnos. Por ejemplo, imagina que llegan infinitos autobuses con infinitos pasajeros en cada autobús. Es un caos impresionante.

Por supuesto, el hotel de Hilbert es capaz de albergar a todos los pasajeros. Pero este problema es más complejo y con más pasos que el anterior. Aparte, hay mínimo dos maneras de resolverlo.

1. Para lograr la primera forma, escribimos los números naturales en forma de pirámide. En la primera fila escribimos solo el 1. En la segunda, el 2 y el 3. En la tercera, el 4, el 5 y el 6, y así sucesivamente. Vemos que, si empezamos por la cúspide y recorremos la diagonal de la derecha, se forma una sucesión de números, 1, 3, 6, 10, 15… A cada ocupante original del hotel le asignaremos una habitación de esa lista, empezando por el primero. La persona de la habitación 1 se quedará donde está, la de la 2 pasará a la 3, la de la 3 a la 6, y así sucesivamente. Si seguimos el mismo recorrido empezando por el número 2, tendremos la sucesión 2, 5, 9, 14… En esta fila colocamos a las personas que venían en el primer autobús, también empezando por el primero. En la sucesión siguiente (4, 8, 13…) colocamos al segundo autobús, y así sucesivamente.

2. Los huéspedes actuales multiplican el número de su habitación por 2, como en el anterior problema. En segundo lugar, a cada autobús se le asigna un número primo (los cuales también son infinitos), sin contar el dos. En tercer lugar, a cada asiento de cada autobús se le da el valor de un número entero. Cada una de esas personas tiene que multiplicar el número de su autobús tantas veces como ponga en su número de asiento. Lo que es lo mismo, elevar el número de autobús al número de asiento. Así, el pasajero del autobús 3 con asiento número 4 sabrá el número de su habitación al hacer la operación 3⁴, con lo cual sabe que el número de su habitación es la número 81. En resumen, los recién llegados saben que el número de su habitación es número de autobús^{número de asiento}. Esto también se puede aplicar para más infinitos de infinitos. Por ejemplo, si llegan infinitos ferris con infinitos autobuses, los cuales tengan infinitos pasajeros. En este caso, habría que hacer (número de ferry número de autobús) número de asiento. Y Así infinitamente, porque hay infinitos tipos de combinaciones que pueden suceder, ¿o no?

¿El hotel infinito de Hilbert puede albergar todo tipo de números?

En este caso, la respuesta es NO. Al menos, en esta paradoja, no caben todos los números. Por ejemplo, no hemos incluido los números negativos, ni los racionales, ni los reales. Si los incluyésemos, el hotel sería una locura, y mucho más para los empleados.

Conclusiones

• Hay infinitos más grandes que otros.
• Si vas a este hotel, recuerda llevar calculadora.
• Menudo quebradero de cabeza que es para los trabajadores.